К. Кноп меня тут научил, что треугольник Серпинского связан с ханойской башней. А именно, возможные конфигурации n колец можно сопоставить маленьким треугольникам на салфетке "порядка n" (после n раундов выкидывания).

При этом конфигурациям, отличающимся на один разрешённый ход, соответствуют соседние треугольники. Полностью собранным на одном из стержней кольцам — маленькие треугольники в самых вершинах исходного. А знание положений k самых больших колец определяет, в каком треугольнике ранга k (получающегося после k раундов выкидывания) содержится отвечающий данной позиции самый маленький.

Построить можно по индукции — построив для (n-1) кольца и состыковав [правильно повернув] три таких (отвечающих возможным положениям последнего кольца) нужным образом: треугольники "последнее кольцо на вершине А" и "последнее кольцо на вершине B" должны стыковаться по тем вершинам, где все кольца, кроме последнего, собраны в вершине C.

Картинка к предыдущему: маленькие треугольники, отвечающие ситуациями, когда:
- все кольца на одном из стержней (заштрихованные в вершинах)
- все кольца, кроме самого большого, на одном стержне, а большое на другом (отмеченные точками).

К вопросу со звёздочкой: давайте я немного поговорю про игру "ним".

Правила игры — есть несколько кучек камней, за один ход можно взять сколько угодно камней из любой одной кучки. Кто не может сделать ход — проиграл (иными словами, выигрывает взявший последний камень).

Игра на одной кучке тривиальна; игра на двух кучках решается симметричной стратегией — если в кучках одинаковое число камней, выигрывает второй игрок, а иначе начинающий (берущий столько, чтобы в кучках стало поровну). А что будет для игры с тремя кучками камней?

Возможным позициям в игре с двумя кучками можно сопоставить клетки (полубесконечной) таблицы или доски — позиции с i и j камнями в кучках соответствует клетка с координатами (i,j). И игра в таком случае превращается в игру "ладью — в угол", когда игроки по очереди двигают ладью влево или вниз на любое число клеток. И даже если симметрическая стратегия не угадывается сразу — она бросается в глаза, если раскрасить клетки-позиции на выигрышные и проигрышные.

Игра же на трёх кучках превращается уже в трёхмерную таблицу или доску. Давайте ограничим число камней в кучках — пусть в каждой кучке их меньше N.

Вопрос: как выглядит множество проигрышных клеток внутри куба NxNxN? Скажем, если этот куб затем сжать в N раз, чтобы он стал единичным, после чего клетки станут этакими "пикселями" (ну, или "вокселями", потому что они трёхмерные).

Если вы никогда этого не делали — попробуйте разобраться, что происходит для N=8. Игру можно разбирать "по слоям": сначала раскрасить доску 8x8, отвечающую позициям (i,j,k) с k=0. Собственно, тут это уже разобранный случай двух кучек.
Потом — с k=1 (учтя возможность хода "вниз"). Потом с k=2,3,... . И ответ сам по себе начнёт "проявляться"!

https://youtu.be/5q_sfXY-va8
( и https://youtu.be/KD_hRn_97RI )

новое видео Mathologer'а (при участии Henry Segerman'а) про объем шара и площадь сферы

Симплектоморфизм Архимеда (так называл его Арнольд) — это замечательное отображение сферы без полюсов на цилиндр, описанный около сферы. Это отображение сохраняет вертикальную и угловую координаты точки. Замечательно оно тем, что является симплектоморфизмом, то есть сохраняет площади — фигура на сфере переходит в фигуру той же площади на цилиндре. В частности площадь цилиндра равна площади сферы (это многие проверят в уме).

Сегодня узнал в канале непрерывного математического образования про совершенно другой симплектоморфизм: между сферой без северного полюса и кругом двойного радиуса. В канале мультик с рассказом, а словами этот симплектоморфизм описывается так: каждый меридиан (из южного полюса) сферы нужно повернуть вокруг его касательной в южном полюсе так, чтобы он стал горизонтальным. Получается круг, двойного радиуса, его площадь равна площади сферы, но более того — площади фигур сохраняются.

Первый симплектоморфизм имел (если не путаю) отношение к «теореме о теннисном мяче» — вложенная гладкая кривая на сфере, делящая ее площадь пополам, имеет не меньше четырех перегибов. А какие замечательные точки кривых на сфере можно «увидеть» с помощью второго симплектоморфизма?

Вот почти-мультфильм с тем, как по слоям заполняются выигрышные и проигрышные позиции для нима на 3 кучках, в которых исходно меньше 8 камней в каждой — или, что то же самое, в игре "ладью в угол" в кубе 8x8x8.

Справа — таблица текущего слоя; когда мы на него только переходим, из всех проигрышных позиций со всех слоёв ниже приходят выигрышные позиции, поэтому исходно он не совсем пустой.
Слои последовательно заполняются: механическим, раз за разом, применением правила "если из позиции можно пойти в проигрышную, то она выигрышная, а если можно только в выигрышные, то она проигрышная".

Слева — таблица "знаем ли мы уже для данного столбца, в каком слое в нём проигрышная позиция" (двух проигрышных позиций, одна над другой, быть не может).

(Кстати: обычно стрелочки вправо-влево позволяют перелистывать слайды так, чтобы они друг относительно друга не съезжали.)

И — наблюдая за такой, механически полученной, картинкой, можно пройти по очень правильному пути: заметить-сформулировать-доказать.

📢 Лекция Григория МЕРЗОНА в это воскресенье, 10 декабря 18:00 МСК

Григорий Мерзон — сотрудник МЦНМО и Лаб. популяризации и пропаганды математики МИАН, редактор журнала «Квантик».

🔍 Геометрические неравенства

📝 Мы поговорим про геометрические неравенства. Вот два примера задач.

* Как оценить площадь фигуры, если известен ее периметр? Как уточнить оценку, если известна дополнительная информация про геометрию фигуры?

* В метро разрешается проносить только такие коробки (прямоугольные параллелепипеды), у которых сумма измерений по длине, ширине и высоте не больше 150 см. Можно ли обойти это правило, убрав запрещенную коробку внутрь разрешенной?

Рассказ предполагается элементарным. От слушателей ожидается, что они знают формулу площади круга, морально готовы (не только рисовать картинки, но и) раскрывать скобки, не боятся слова “вероятность”.

⏰ Начало в 18:00 МСК.

📌 Ссылка на Zoom.

#открытые_лекции #анонс

Plane partitions in the work of Richard Stanley and his school

C. Krattenthaler

These notes provide a survey of the theory of plane partitions, seen through the glasses of the work of Richard Stanley and his school.

Отличный доступный обзор об истории плоских разбиений (plane partitions)

пусть здесь будет такая цитата, например:

Why were plane partitions so fascinating for MacMahon, and for legions of followers? From his writings, it is clear that MacMahon did not have any external motivation to consider these objects, nor did he have any second thoughts. For him it was obvious that these plane partitions are very natural, as two-dimensional analogues of (linear) partitions (for which at the time already a well established theory was available), and as such of intrinsic interest. Moreover, this intuition was “confirmed” by the extremely elegant product formula in Theorem 1 below. He himself — conjecturally — found another intriguing product formula for so-called “symmetric” plane partitions contained in a given box (…). Later many more such formulae were found (again, first conjecturally, and some of them still quite mysterious …). Moreover, over time it turned out that plane partitions (and rhombus tilings) are related to many other areas of mathematics, most notably to the theory of symmetric functions and representation theory of classical groups (…), representation theory of quantum groups (…), enumeration of integer points in polytopes and commutative algebra (…), enumeration of matchings in graphs (…), and to statistical physics (…).

Картинка с лекции Г. Мерзона прямо сейчас: четырёхшарнирное рассуждение Штейнера для изопериметрической задачи. Почему кривая данной длины, ограничивающая максимальную площадь — окружность?
(шаг 1) она выпуклая;
(шаг 2) соображения симметрии — любой отрезок, делящий периметр пополам, делит пополам и площадь, иначе достраиваем большую половину симметрично;
!! (шаг 3) четырёхшарнирное рассуждение: такой отрезок должен быть виден под углом в 90 градусов из любой точки границы. Потому что если нет — достроив вторую половину центрально-симметрично, можно увидеть параллелограмм. После чего можно считаем, что кусочки границы, опирающиеся на эти кусочки, жёсткие, а в этих точках шарниры. Но шарнирный параллелограмм можно превратить в прямоугольник, увеличив его площадь — а площади "сегментов" при этом не поменяются, так что общая площадь фигуры вырастет.

(Плюс соображения компактности — чтобы фигура наибольшей площади нашлась.)

Картинка из ещё одного рассуждения для изопериметрического неравенства для многоугольников — и для любимой мной формулы для площади r-окрестности выпуклого многоугольника,
S(r) = πr^2 + L*r + S.

Изопериметрическое неравенство состоит в том, что дискриминант этого квадратного трёхчлена неотрицателен,
L^2 - 4π S >= 0.

А дальше — разными способами работая с отрицательными (!) r — либо доопределив фигуру и работая с ориентированными площадью и периметром, или двигая стороны-стенки внутрь и грубо "обрубая" (и получая неравенство на дискриминант), можно доказать, что S(r) и впрямь где-то в области r<0 обращается в ноль.

Вот этих рассуждений я не знал!