Три дня назад на небе можно было увидеть аккуратную половинку Луны (почти точно в фазе первой четверти) — и очень яркую «звёздочку» рядом. Первое, что приходит в голову при виде чего-то столь яркого, это Венера и Юпитер. (Вообще, Марс иногда бывает очень ярким, но не так часто; есть ещё Сириус, но давайте мы его временно заметём под ковёр).

Так вот: допустим, мы ограничили выбор Венерой и Юпитером. Интересно, что написанного выше достаточно, чтобы один из этих вариантов исключить! Как думаете, какой?

(image credit: NASA, вырезано из What’s Up video)

Ответ:
Луна в первой четверти означает, что направление на неё почти под прямым углом к направлению на Солнце. А Венера — внутренняя планета, так что на 90 градусов выйти не может.

Если говорить более аккуратно, то радиус орбиты у неё — чуть больше 0.7 радиуса орбиты Земли (точнее, большая полуось 0.723 а.е., но я наизусть только 0.7 помню — одну цифру помнить проще 🙂 ; ну и на уровне прикидки в уме эллиптичностью пренебрегаем, всё-таки там эксцентриситеты порядка процента)
Значит, Венера не может быть от Солнца на угловом расстоянии, большем, чем (примерно) arcsin 0.7.
Ну а sqrt{2}/2=0.707..., так что этот угол это с отличной точностью 45 градусов.
Итак, максимальный угол между направлениями на Венеру и Солнце это чуть больше, чем 45 градусов (на самом деле 47, но это я уже потом посмотрел — а тут прикидывал на ходу, и кажется, неплохо получилось).

Итого:
*) угол Солнце-Земля-Луна в этот момент примерно равен 90 градусам (потому что от Луны освещена половина),
*) угол Солнце-Земля-Венера никогда не больше 47 градусов.
Значит, в момент наблюдения угол Венера-Земля-Луна был не меньше 43 градусов. А не единицы градусов, которые « рядом » на небе! Так что Венеру исключаем.

появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

Любую гладкую кривую можно увидеть, нарисовав не саму кривую, а множество касательных к ней. Понятие огибающей подробно описано в сюжете «Парабола: изонить», в котором в качестве огибающей семейства прямых возникает парабола.

Но построение касательных не такое простое дело. Продемонстрируем, как увидеть конические сечения — эллипс, гиперболу, параболу — ничего не считая и не рисуя, а просто складывая листок бумаги. Сюжет сегодняшнего Математического вторника: «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ . Для эллипса и гиперболы понадобится вырезать кружок из бумаги, для параболы – просто прямоугольный лист.

Похожие картинки можно уже было видеть в миниатюрах Эллипс как огибающая, Гипербола как огибающая, Парабола как огибающая. Но в них надо уметь строить перпендикуляр к отрезку, а в указанном сегодня способе складывания листочка эта операция «зашита» в сам способ складывания.

Давайте я чуть-чуть добавлю к тому, что пишут коллеги.

Все знают, что планеты движутся вокруг звезды по эллипсам. И навскидку не очень ясно, как это утверждение доказывать, не закапываясь в какие-нибудь жуткие выкладки.

Лет пять назад появилось выложил замечательное видео (на канале minutephysics с 3blue1brown) про лекцию Фейнмана об этом, « Feynman’s Lost Lecture ».
Я его очень рекомендую посмотреть — но если коротко, есть совершенно замечательный промежуточный шаг, который, услышав однажды, забыть нельзя.

Отложим скорости планеты в разные моменты времени от начала координат. Оказывается, что концы этих векторов образуют окружность — просто с центром не в начале координат!
(«Годограф скоростей — круглый»)

Чтобы вывести это утверждение, нужны и закон всемирного тяготения, и закон сохранения момента импульса (а точнее, следующий из него второй закон Кеплера — правило площадей). А вывод из него эллиптичности орбиты связан как раз с картинкой с эллипсом-огибающей!

(Я немного об этом когда-то писал — см. тут и ниже — но очень советую посмотреть и видео, и страницы/миниатюры Мат. Этюдов про огибающие.)

Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933–14.02.2024)

https://www.kommersant.ru/doc/3200633

к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним

https://www.mathnet.ru/present231

А.М.Вершик. «A что будет, если n очень большое?» (ЛШСМ-2008)

Для меня этот курс Вершика стал первым знакомством с асимптотической комбинаторикой. И с идеей, что очень часто число [комбинаторных] объектов большого размера N примерно данной формы оказывается ведущим себя, как экспонента от фиксированной степени N, умноженной на («энтропийный») функционал от формы — после чего предельная форма оказывается максимизирующей этот функционал.

(По ссылке на mathnet-е лежат и рабочие материалы/записки курса — https://www.mathnet.ru/PresentFiles/231/v231.pdf )