А вот что воздушный шар раскрашен под расслоение Хопфа — уже нужно заметить.

Солнце (которое, правда, не очень видно) раскрашено под универсальную накрывающую сферы Римана без трёх точек — которая есть диск (а треугольники "с вершинами на абсолюте" переходят в верхнюю и нижнюю полуплоскости, в зависимости от раскраски).
Лента справа завивается дорожкой вихрей Кармана — https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street .
А верёвка завязывается в дикий узел (https://en.wikipedia.org/wiki/Wild_knot )

Ну и последнее на сегодня — а вот эти постеры висят у нас в Ренне на лестнице:
http://sorciersdesalem.math.cnrs.fr/Posters/posters.html

Там сильно больше комментариев — правда, они по-французски...

Ну и на этом я рассказ "о красивых картинках", наверное, завершу.

В продолжение темы про узлы — байка про трёхцветные раскраски.

Как можно доказывать, что узел (формально, вложение окружности в R^3) нельзя развязать? Или что два узла различны?

Самый естественный подход — нужен какой-нибудь инвариант. И почти всегда инвариант строится не по узлу в R^3, а по его диаграмме — "узлу, вид сверху".

Вот взятая из Википедии таблица узлов с небольшим числом перекрёстков:

Так вот, самый простой в определении инвариант — это число правильных трёхцветных раскрасок.

А именно, раскрасим диаграмму узла в три цвета (красный, синий, зелёный) — раскрашивая каждую связную компоненту (от одного ныряния "под" перекрёсток до другого) в один цвет.

Определение: раскраска называется правильной, если для каждого перекрёстка (в котором встречаются две "ныряющие вниз" компоненты и одна, проходящая поверху) мы в нём видим либо все три цвета, либо только один.

Пример: правильная раскраска трилистника (image credit: Wikipedia)

Теорема. Число правильных раскрасок — инвариант узла.

Как такое нужно доказывать? Как обычно: показывать, что в процессе перехода от одного узла к другому он не меняется.

Процесс деформации (гомотопии) одного узла в другой с точки зрения диаграмм разбивается на конечное число _движений Редемейстера_:

(image credit: Wolfram Mathworld, http://mathworld.wolfram.com/ReidemeisterMoves.html )

Соответственно, нужно доказать, что каждое такое движение не изменяет числа трёхцветных раскрасок.

Как нас учат специалисты по комбинаторике, лучше всего равенство натуральных чисел доказывается биекцией. Так вот — между трёхцветными раскрасками есть биекция, сохраняющая раскраску вне перестраиваемой области (а легко видеть, что внутрь области перестройки раскраска всегда продолжается не более чем одним способом).