Друзья, начинаем потихоньку входить в режим ❤️

Первая задача 2026 года будет максимально дружелюбной.

🔸Условие: Саша составил число 2026 из 68 кубиков, как на рисунке выше. После этого он покрасил всю поверхность конструкции краской.

🔸Вопрос: у скольких кубиков оказалось покрашено ровно четыре грани?

Не торопимся. Рассуждения и вопросы принимаются в комментариях… Ответ и разбор пришлём завтра.

#задача

Ответ на вчерашнюю задачу: 62

Получить этот ответ можно, конечно, и честным перебором, аккуратно пройдясь по всем кубикам и «руками» пересчитав покрашенные грани, но это — путь сильных и смелых. Математики же, по своей натуре, люди ленивые, из-за этого и придумывают всякие умные ухищрения — как бы что сделать попроще…

У кубика 6 граней, и если он состыкован с двумя другими кубиками, то свободных граней остаётся 4, если с одним — то 5, а если с тремя — то 3, и т. д. Тем самым нам достаточно посчитать только те кубики, которые состыкованы не с двумя другими. Таких кубиков 6. А значит, ответ: 68 − 6 = 62.

❤️ Все, кто решил, — молодцы! И в качестве награды ловите бонусный факт: 2026 — счастливое число. И это не просто фигура речи.

В математике счастливыми называют числа, у которых цикличная замена числа на сумму квадратов его цифр сходится к 1. Числа, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами и ещё называются грустными числами.

Проверим число 2026 непосредственно:

2² + 0² + 2² + 6² = 4 + 0 + 4 + 36 = 44
4² + 4² = 16 + 16 = 32
3² + 2² = 9 + 4 = 13
1² + 3² = 1 + 9 = 10
1² + 0² = 1

Убедились? 2026 — счастливое! Всего, кстати, в нашем веке счастливых годов не так много: были 2003, 2008, 2019 и будут ещё 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091, 2093.

Так что желаем, чтобы каждый ваш день в этом счастливом 2026 году циклично и уверенно вёл вас к успехам.

🎉 — запустить последнюю хлопушку и начать уже работать...

#задача

Это труднопереводимое слово fallacy

Сегодня и в ближайшие дни будем рассказывать вам о fallacy. Возможно, математики о нём и не слышали, но могут часто замечать его у себя.

Fallacy можно перевести как «заблуждение», но по смыслу это было бы примерно то же самое, если бы слово mathematics переводилось просто как «работа с числами».

🔄Это рассуждение, которое выглядит правильным, ощущается убедительным, часто использует знакомые логические формы, но при этом ведёт к неверному выводу. Это ошибка, замаскированная под аргументацию, ложная по тем или иным обстоятельствам. Fallacy оказывается на пересечении логики, риторики и психологии🔄

Оно не обязательно совершается намеренно — чаще рефлекторно.

Классические fallacies:

▶️Circular reasoning (круговое рассуждение или «порочный круг»)

Вывод используется как предпосылка. Например:

Этот метод работает, потому что он даёт правильные результаты. Откуда мы знаем, что результаты правильные? Потому что их дал этот метод.

Иначе говоря, это логическая ошибка, при которой рассуждение начинается с того, чем планируется закончить. Логически здесь нарушается направление обоснования. В математике такое рассуждение мгновенно объявляется некорректным, но в повседневной речи круги маскируются под «очевидность». Хотя в данном случае даже математика не без греха: именно к этому типу относятся попытки доказательства пятого постулата Эвклида.

▶️Post hoc ergo propter hoc

Классическая путаница корреляции и причинности. Частный случай более широкой категории false cause.

С тех пор как число пиратов в мире сократилось, глобальное потепление усилилось.

Это классический пример корреляции без причинности: обе тенденции могут иметь место, но никак не быть связаны. Логика требует структуры «A ⇒ B». Fallacy возникает, когда временное следование подменяет причинную связь. В статистике это одна из самых устойчивых ловушек.

▶️Equivocation (эквивокация или подмена смысла слова)

Если упрощать, эквивокацией называют использование одного и того же слова с разным значением в одном рассуждении. На самом деле спектр значений этого понятия шире, но самый распространённый из них — тот, что в классической логике ещё называется quaternio terminorum («учетверение терминов»).

Математика описывает мир. Мир — это отсутствие войны. Значит, математика описывает отсутствие войны.

«Мир» как вселенная/реальность vs «мир» как противоположность войне. Формально структура аргумента корректна, но семантика «плывёт». В логике это пример того, как язык ломает строгие формы рассуждений.

▶️False dilemma (ложная дилемма / дихотомия)

Предлагается только два варианта, хотя пространство решений богаче.

Ты критикуешь капитализм, следовательно, ты коммунист.

Логически это ошибка редукции множества возможностей до бинарного выбора. В математике это выглядело бы как утверждение, что функция может принимать только 0 или 1 просто потому, что так удобнее спорить.

▶️Appeal to authority (апелляция к авторитету)

Аргумент строится не от структуры доказательства, а от источника.

Это верно, потому что так сказал Гаусс.

В математике авторитет не играет роли для истинности утверждения. Теорема верна не потому, что её доказал Гаусс, а потому что доказательство корректно. И даже Гаусс мог ошибаться — хотя, кажется, крайне редко, как в случае с распределением простых чисел, хотя это уже отдельная история.

Ссылка на эксперта может быть разумной эвристикой в условиях неопределённости — мы не можем проверить всё сами. Fallacy возникает, когда авторитет подменяет логическое обоснование, а не дополняет его.

И всё же: при чём здесь математика?

Процесс математического мышления, особенно на этапе поиска решения, полон тех же ловушек. История науки знает немало «интуитивно очевидных» утверждений, которые оказывались ложными, и «доказательств», в которых ошибка пряталась годами.

*️⃣Ошибка возникает не в форме, а в месте её применения или в незаметном нарушении условий.

В этом смысле fallacy — это тени логики. Они появляются там, где форма сохранена, а условия применимости забыты.

⏩️⏩️ В прошлый раз мы говорили о нескольких классических fallacy, а сегодня разберём ещё несколько — чуть более изощрённых и особенно запоминающихся ⏩️⏩️

❄️
❄️🔸Sunk cost (ловушка невозвратных затрат)
❄️

Исследования Хэла Аркеса показывают: в ситуации невозвратных затрат люди чаще выбирают дорогой и невыгодный вариант, чем выгодный и дешёвый. Прошлые вложения влияют на решения сильнее, чем рациональная оценка будущей пользы.

Например, вам советуют сменить профессию, но вы отказываетесь, потому что уже потратили на неё годы, деньги и силы. Хотя рационально это не аргумент, именно прошлые вложения часто мешают принять выгодное решение.

❄️
❄️🔸No true Scotsman («ни один истинный шотландец»)
❄️

Термин был выдвинут философом Энтони Флю в книге 1975 года «Размышление о размышлении: Искренне ли я хочу быть правым?».

В чём суть? Человек читает в газете о преступлении и говорит: «Ни один шотландец на такое не способен». Когда позже в той же газете появляется история о скандале с конкретным шотландцем из Абердина, он не признаёт ошибку, а заявляет: «Ну значит, он не настоящий шотландец». Факты меняются, а утверждение сохраняется за счёт подмены критериев.

В математическом контексте выглядело бы так:
— Ни один математик не допустит такой ошибки.
— Но вот профессор Иванов допустил.
— Значит, он не настоящий математик.

❄️
❄️🔸Slippery slope (скользкий склон)
❄️

Рассматривает утверждения в виде цепочек причинно-следственных связей, которые кажутся аргументированными и убедительными, но на деле — бездоказательными.

Если ИИ будет писать тексты, то люди перестанут думать. Потом перестанут читать, и культура исчезнет.

Каждый шаг выглядит правдоподобным, но неизбежность переходов не доказана: возможность не равна неизбежности.

❄️
❄️🔸Texas sharpshooter (ошибка меткого стрелка)
❄️

Название происходит из истории про техасца, который сначала стреляет по амбару, а потом, в месте с наибольшим числом пробоин, рисует мишень и объявляет себя метким стрелком.

Подобные вещи часто происходят в аналитике данных — то, что называют «подгонкой под результат» (data dredging): сначала анализируются данные, затем в них выбирается наиболее удачный паттерн, который объявляется закономерностью.

«Я нашёл закономерность в этих данных. Посмотрите, эти пять точек почти идеально ложатся на кривую!»

Выбор паттерна после анализа данных, а не до него — классика… но что не сделаешь, когда начальству нужен результат?

❄️
❄️🔸Red herring (отвлекающий манёвр или уловка копчёной селёдки)
❄️

Распространённая ошибка в спорах и дискуссиях. Вместо ответа по существу вводится посторонняя тема, чтобы увести разговор в сторону.

— Ваше доказательство теоремы содержит ошибку в третьем шаге.
— Но посмотрите, какие красивые приложения у этого результата! И вообще, эта область очень важна для физики.

Замечание о корректности доказательства остаётся без ответа. Внимание переключается на что-то другое — пусть важное, но логически не связанное с исходным вопросом. Корректность доказательства никак не зависит от полезности результата.

Название происходит от старой практики сбивать охотничьих собак со следа запахом копчёной селёдки 🐟 (red herring).

❄️
❄️🔸Motte-and-bailey (мотт и бейли)
❄️

Относительно современный пример, придуманный философом Николасом Шейси в 2025 году.

Название пошло из Средневековья:
🔸motte — укреплённая башня на холме;
🔸bailey — открытый двор вокруг.

Суть: человек выдвигает спорное, смелое утверждение (bailey), но когда его критикуют, отступает к безопасному, очевидному утверждению (motte), а потом снова возвращается к исходному.

Bailey (смелое): «Интуиция важнее формальных доказательств в математике».
Критика: «Но без доказательств это не математика, а гадание».
Motte (защищённое): «Я просто говорю, что интуиция играет роль в процессе открытия, это же очевидно!»
[После критики снова]: «Вот видите, интуиция действительно важнее доказательств».

Так создаётся иллюзия победы — слабую позицию прикрывают сильной и ведут себя так, будто защитили первую.

Продолжение следует 👀

Соскучились по задачам? Тогда смотрите на картинку 🔍

Эта конструкция называется мобиль — как детские мобили, которые подвешивают над кроватками.

📃 Здесь «|» — невесомые подвесы, но балки (обозначенные крестиками) имеют массу. Буквы (A, B, C, D, E, F) обозначают разные веса (массы).

❓ Какой вес должен быть оптимально подвешен в месте, помеченном «#»? Под «оптимально» подразумевается, каким набором из имеющихся у нас грузов нужно заменить «#», чтобы не нарушалось равновесие системы и при этом использовалось как можно меньшее количество самих грузов.

Пишите решение в комментариях, а завтра мы опубликуем верное.

#задача

А вот и решение вчерашней задачи!

1️⃣В первой части решения будем анализировать только левую часть мобиля. Начнем с простого — самого нижнего подвеса, из равновесия которого нетрудно заключить, что F = 2D.

Заметим, что у нас есть одна большая горизонтальная балка сверху (вес которой, разумеется, никак не может повлиять на решение), а также несколько одинаковых между собой балок поменьше. Будем для краткости обозначать их вес просто X. Тогда из нижней части левой половины можем заключить, что B + F = X+ 2D + F. Упрощая это выражение, получим B = X+ 2D, а учитывая то, что 2D = F, получаем B = X + F.

Далее, искомая # = 2X + 2F + 2D + B = 2(X+F) + 2D + B = 2B + 2D + B = 3B + 2D.

Теперь финальное соотношение для всей левой части:

B + 2E = 3X + # + B + 2F + 2D.

Упрощаем:

2E = 3X + 3F + # = 3(X+F) + # = 3B + 3B + F = 6B + F = 6B + 2D

E = 3B + D

Тогда # = 3B + 2D = E + D.

*️⃣ Здесь можно было бы и закончить решение, так как нам удалось корректно заменить # всего двумя грузами! Меньшим количеством — то есть одним — в этой задаче, конечно, не обойтись.

2️⃣В то же время, специально для наших читателей, подробно проанализируем вторую (правую) половину мобиля.

Сперва заметим, что C = A + 3D. Далее:

3A + D + 2F = X + A + 3D + C => 2A + 2F = X + 2D + C

▶️Подставим C: 2A + 2F = X + 2D + A + 3D

Упрощая, получаем: A + 2F = X + 5D

▶️Подставим F: A + 4D = X + 5D откуда A = X + D => C = A + 3D = X + 4D.

И финальное соотношение на всю правую часть:

A + 4C = 2X + 4A + 4D + 2F + C => 3C = 2X + 3A + 4D + 2F

Подставим C: 3A + 9D = 2X + 3A + 4D + 2F.
Упрощаем: 5D = 2X + 2F.
Подставим F: 5D = 2X + 4D => D = 2X.

Таким образом, мы получили следующие соотношения:

D = 2X
A = X + D = 3X
F = 2D = 4X
B = X + F = X + 2D = 5X
C = X + 4D = 9X
E = 3B + D = 15X + 2X = 17X

Нам удалось выразить все веса грузов через вес балки. Найденный нами в первой части решения вес # = E + D = 19X. Из расположения в порядке возрастания веса можно увидеть, что оптимальная замена его имеющимися весами будет именно такой, какую мы и нашли выше ⚡️

#задача