🧑‍💻 У вас есть идеи как разнообразить контент в данном канале?

4️⃣ Как развивалась четвёртая проблема Гильберта

После Гильберта другие учёные попробовали дать этому смысл. Белтрами и Пуанкаре показали, что даже в необычных пространствах можно построить геодезические линии — аналоги прямых, которые всё ещё являются кратчайшими путями. Только выглядят они по-другому: например, как дуги окружностей внутри круга.

Позже появилась геометрия Римана и геометрия Финслера. В первой длина пути зависит от кривизны пространства, а во второй — ещё и от направления. Это стало фундаментом для физики Эйнштейна и идей о том, что пространство само по себе может быть искривлённым.

👍 Итог

Единого решения у четвёртой проблемы нет. Она открыла целую ветвь математики — изучение того, как можно задать понятие длины и расстояния вообще.

🔥 Спор о бесконечностях: Кантор против Кронекера

В конце XIX века Георг Кантор взялся за измерение бесконечности. До него бесконечность была скорее идеей, а не чем-то конкретным. Но Кантор показал, что даже у неё есть структура. Он доказал, что существуют разные размеры бесконечного: например, множество всех чисел бесконечно, но множество всех вещественных чисел бесконечнее.

Леопольд Кронекер, старший и уважаемый математик, посчитал это безумием. Для него существовали только числа, которые можно построить руками, то есть конечные. Он говорил: «Целые числа создал Бог, всё остальное — дело человека». Кантор же не видел в математике таких ограничений.

⏩Это был конфликт мировоззрений — между строгостью и свободой абстракции. Кантора обвиняли в ереси, его работы отвергали журналы, где Кронекер имел влияние. И всё же время решило спор: бесконечные множества легли в основу современной математики, а идеи Кантора стали фундаментом теории множеств.

⚫️ThisMath || #мемы

🟣 Аксиома выбора

После того как идеи Кантора утвердились, стало ясно, что для работы с бесконечными множествами нужно уметь из них выбирать элементы — даже если правило выбора не задано.

Если есть множество {1, 2, 3} или {-1, π, 0}, всегда можно построить правило, по которому мы можем "вытянуть" элемент. Например, берём элементы по возрастанию или с большего к меньшему.

В бесконечных множествах такого правила не придумать. Хотя интуитивно кажется, что вытянуть элемент можно из любого множества, нельзя придумать одно универсальное правило, которое выбирало бы элементы из любого бесконечного семейства множеств

Аксиома выбора утверждает: такая функция выбора f существует, даже если мы не знаем, как её построить.

На первый взгляд аксиома кажется очевидной. С помощью этой идеи, Эрнст Цермело доказал теорему о добром порядке — что любое множество можно упорядочить так, что у каждого подмножества есть наименьший элемент. Это выглядело как логическое продолжение идей Кантора: если множества можно сравнивать по мощности, то их можно и упорядочить.

❔ Но начался новый спор:

Конструктивисты (ученики идей Кронекера) считали аксиому выбора опасной, потому что она утверждает существование без явного построения. Им казалось, что математика снова превращается в философию. Цермело, напротив, утверждал, что без аксиомы выбора теория множеств перестаёт быть цельной: бесконечные множества теряют структуру, а доказательства вроде теоремы Тихонова становятся невозможными. Гёдель позже показал, что аксиома выбора не создаёт противоречий, а Коэн — что она не выводится из остальных аксиом. То есть она не ложна.

👾 В чём мораль?

Если бы не спор Кронекера и Кантора, вопрос о праве выбора так и остался бы нерешённым. Именно сомнение заставило математиков уточнить некоторые моменты — и так появилась аксиома выбора. Споры, также как и ошибки — двигают математику вперёд