№27 (ВсОШ ЗЭ 2015, 11.7)

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке А пересекает прямую ВС в точке D. Пусть I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Прямые BI и CI пересекают биссектрису угла ADB в точках Q и P соответственно. Пусть M — середина отрезка PQ.
Доказать, что прямая MI проходит через
середину дуги ACB окружности ω

№28 (ММО 2023, 11.9)

В треугольнике ABC высоты BE и CF пересекаются в точке H, точка M — середина стороны BC, а X — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники BMF и CME.
Доказать, что точки X, M и H лежат на одной прямой

№29 (Обобщение №28)

Доказать, что красные точки лежат на одной прямой

№30 (Источник утерян)

Условие на картинке
Доказать, что красные пунктирные прямые параллельны

№31 (ЮМТ 2019, Гранд-лига, бой за 5-6 тур, задача N5)

На медиане взята произвольная точка
Доказать, что красная пунктирная окружность и красная пунктирная прямая касаются

№32 (ВсОШ ЗЭ 2013, 11.7)

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично, отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 — в точке B2. Доказать, что I является центром окружности, описанной около треугольника A2B2C2.

№33 (ВсОШ РЭ 2005, 9.4)

I - инцентр
Доказать, что красные углы равны

№34 (Источник утерян)

Зелные прямые параллельны
Доказать, что красные углы равны

№35 (Шарыгинская олимпиада 2023, 10.6)

Условие на картинке
Доказать, что красные пунктирные прямые пересекаются на окружности

№36 (ВсОШ РЭ 2024, 9.5)

Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены точки D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причем AC = DE и ∠CFE = ∠DEF. Доказать, что ∠ABC = 2∠DFE

№37 (Высшая проба 2024, 10.3)

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окруж- ность в точке T != I. H - ортоцентр треугольника AEF. Доказать, что ортоцентр треугольника AEF равноудален от точек T и I

№38 (Высшая проба 2024, 9.5)

Условие на картинке
Доказать, что красные углы равны

Эта задача по моим наблюдениям всем очень понравилась. Вообще, на высшей пробе в этом году очень хорошая геометрия🤩

F — точка Фейербаха

№40 (ММО 2022, 11.3)

Доказать, что красные отрезки параллельны

№41 (ММО 2021, 11.5)

(настало время разбавить серые планиметрические будни комбистереомой)

Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

https://geometry.ru/olimp/2024/2024_zaoch_rus_sol.pdf

опубликованы решения заочного тура геометрической олимпиады им. Шарыгина

№42 (Кавказская математическая олимпиада, 2024)

Дан треугольник ABC. На отрезке АС выбирается произвольная точка Х. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВХ, касается отрезков АХ и ВХ соответственно в точках К и Р, а окружность, вписанная в треугольник СВХ, касается отрезков СХ и ВХ соответственно в точках L и Q. Найдите ГМТ пересечения прямых KP и LQ