Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://geometry.ru/olimp/2024/2024_zaoch_rus_sol.pdf
опубликованы решения заочного тура геометрической олимпиады им. Шарыгина
опубликованы решения заочного тура геометрической олимпиады им. Шарыгина
✍6❤4💔1
№42 (Кавказская математическая олимпиада, 2024)
Дан треугольник ABC. На отрезке АС выбирается произвольная точка Х. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВХ, касается отрезков АХ и ВХ соответственно в точках К и Р, а окружность, вписанная в треугольник СВХ, касается отрезков СХ и ВХ соответственно в точках L и Q. Найдите ГМТ пересечения прямых KP и LQ
Дан треугольник ABC. На отрезке АС выбирается произвольная точка Х. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВХ, касается отрезков АХ и ВХ соответственно в точках К и Р, а окружность, вписанная в треугольник СВХ, касается отрезков СХ и ВХ соответственно в точках L и Q. Найдите ГМТ пересечения прямых KP и LQ
❤20💔3✍1
Forwarded from Олимпиадная геометрия
Республиканская олимпиада Казахстана, 2024, первый день, задача 9.3
В окружность omega с центром O вписан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к omega в точке A пересекает сторону BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX параллельно KM и CX параллельно LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой.
В окружность omega с центром O вписан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к omega в точке A пересекает сторону BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX параллельно KM и CX параллельно LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой.
❤11✍3💔1
№44 (ММО 2021, 11.3)
Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Точки X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Доказать, что описанная окружность треугольника MXY касается окружности ω
Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Точки X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Доказать, что описанная окружность треугольника MXY касается окружности ω
❤10💔2✍1
№47 (IMO 2024, 4)
Пусть ABC – треугольник, в котором AB < AC < BC. Пусть ω – вписанная в треугольник ABC окружность, а I – ее центр. Пусть X – такая точка на прямой BC, отличная от C, что прямая, проходящая через X параллельно AC, касается ω. Аналогично, пусть Y – такая точка на прямой BC, отличная от B, что прямая, проходящая через Y параллельно AB, касается ω. Пусть AI пересекает описанную около треугольника ABC окружность второй раз в точке P != A. Пусть K и L – середины сторон AB и AC соответственно. Доказать, что ∠KIL + ∠YPX = 180◦
Пусть ABC – треугольник, в котором AB < AC < BC. Пусть ω – вписанная в треугольник ABC окружность, а I – ее центр. Пусть X – такая точка на прямой BC, отличная от C, что прямая, проходящая через X параллельно AC, касается ω. Аналогично, пусть Y – такая точка на прямой BC, отличная от B, что прямая, проходящая через Y параллельно AB, касается ω. Пусть AI пересекает описанную около треугольника ABC окружность второй раз в точке P != A. Пусть K и L – середины сторон AB и AC соответственно. Доказать, что ∠KIL + ∠YPX = 180◦
❤9✍1
Geometry Weekly
№48 (Сюжетик) Фиолетовые окружности касаются двух сторон треугольника и его окружности девяти точек. Доказать, что их центры на одной прямой
№49 (И небольшой спойлер-усиление к предыдущей задаче)
H - ортоцентр, Be - точка Бевэна ( https://en.wikipedia.org/wiki/Bevan_point ). Вообще, можно обойтись и без Be
❤8✍4
Forwarded from Олимпиадная геометрия
Много геометрических каналов, конечно, развелось... проще перечислить тех, у кого их нет... но я попробую в почти случайном порядке перечислить те, что есть.
Геометрия-канал старейший геометрический канал
Geometry Ukraine
Geometry Belarus
геометрия от Волчкевича
геометрия с Федором Ниловым
NeuroGeometry геометрия с не только лишь человеческим лицом
канал Ярослава Щербатова специалиста по Акопяну
канал Задача дня Юсуфа Нагуманова
Geometry Weekly автор скрывает свое имя... но мы то знаем...
У многих каналов есть свои чаты, но их уж я упоминать не буду. Наверняка, есть еще десяток, можете скинуть в комментариях, если действительно туда стоит заходить...
Геометрия-канал старейший геометрический канал
Geometry Ukraine
Geometry Belarus
геометрия от Волчкевича
геометрия с Федором Ниловым
NeuroGeometry геометрия с не только лишь человеческим лицом
канал Ярослава Щербатова специалиста по Акопяну
канал Задача дня Юсуфа Нагуманова
Geometry Weekly автор скрывает свое имя... но мы то знаем...
У многих каналов есть свои чаты, но их уж я упоминать не буду. Наверняка, есть еще десяток, можете скинуть в комментариях, если действительно туда стоит заходить...
❤12
№55 (Комбигеома)
Для каких n в пространстве размерности n существуют 2^n попарно параллельных гиперплоскостей, таких, что между соседними гиперплоскостями расстояния равны и на каждой из них можно взять по точке так, чтобы точки образовывали гиперкуб?
Для каких n в пространстве размерности n существуют 2^n попарно параллельных гиперплоскостей, таких, что между соседними гиперплоскостями расстояния равны и на каждой из них можно взять по точке так, чтобы точки образовывали гиперкуб?
✍7❤4💔4