Математические байки
Photo
(И конечно же, подходящие дроби появляются среди тех, которые будут ближайшими к x сверху и снизу в последовательностях Фарея разного порядка — а многогратная замена одной из них на медианту с другой это и есть описанный у Арнольда "алгоритм вытягивания носов".)
Математические байки
И уже несложно угадать, что 5/7 это (2+3)/(3+4), а 4/7 это (1+3)/(2+5).
А последнее, что я тут хотел упомянуть — это кусочек истории. Фарей был английским геологом, и опубликовал это свойство таких последовательностей без доказательства в 1816 году в Philosophical Magazine —
Это письмо попало на глаза Коши, который обрадовался, немедленно всё доказал, и назвал такие последовательности дробей последовательностями Фарея.
Но ещё в 1802 году, за 14 лет до того, в Journal de l'École Polytechnique появилась статья Charles Haros:
Но ещё в 1802 году, за 14 лет до того, в Journal de l'École Polytechnique появилась статья Charles Haros:
Два связанных исторических вопроса, которые я люблю задавать, когда рассказываю про работу Haros:
1) Что стоит перед фамилией Haros?
2) Какой год стоит на титульном листе журнала, опубликованного в 1802 году?
1) Что стоит перед фамилией Haros?
2) Какой год стоит на титульном листе журнала, опубликованного в 1802 году?
Конечно же, ответ на второй вопрос не мог бы быть 1802 или 1801 или 1803 — было бы неинтересно. :)
Но если вспомнить, что в это время во Франции происходило —
Но если вспомнить, что в это время во Франции происходило —
Ну и ответ на первый — стоит там C.-en, то есть Citoyen, гражданин:
А по соседству с его статьёй опубликован отзыв (правда, странный) на будущую знаменитую Disquisitiones arithmeticae некоего господина Гаусса из Брунсвика.
Да, совсем в заключение — ещё пара картинок из (мне кажется, очень стоящей того) книги Аллена Хатчера "Topology of Numbers", https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf .
Если распространить построение дробей медиантами на всю [проективную] прямую — начиная с нуля 0/1 и с бесконечности 1/0, сделать стереографическую проекцию и соединить дугами дроби, которые хоть в какой-то момент окажутся соседними —
Если распространить построение дробей медиантами на всю [проективную] прямую — начиная с нуля 0/1 и с бесконечности 1/0, сделать стереографическую проекцию и соединить дугами дроби, которые хоть в какой-то момент окажутся соседними —
Ну и совсем в заключение — оказывается, в терминах распределения последовательностей Фарея можно эквивалентно переформулировать гипотезу Римана. Но это уже точно тема для другого рассказа...
Последнее — вчера объявили лауреатов премии Абеля этого года: ими стали Г. Фюрстенберг и Г. А. Маргулис.