Смотрю на задачу 5: умею доказывать отличающиеся в константу раз оценки снизу и сверху.

Оценка снизу — верхней целой частью n-й частичной суммы гармонического ряда
H_n = 1+1/2+…+ 1/n.

Дело в том, что на возможных путях ниндзя есть случайное распределение, при котором на любом уровне все возможные круги посещаются равновероятно. Если поверить в то, что оно есть, то дальше среднее значение количества красных кругов на пути как раз равно 1+1/2+…+1/n (потому что вклад каждого уровня k равен 1/k). Ну и верхняя целая часть — потому что при таком среднем где-то будет хотя бы столько.

Построить такой путь можно двумя способами. Во-первых, взять равновероятно круг на самом нижнем уровне, и после этого выбрать идущий в него путь ниндзя равновероятно из всех возможных (и это не то же самое, что просто равновероятный выбор из всех 2^(n-1) путей ниндзя в треугольнике). И тогда оказывается, что на предыдущих уровнях распределение тоже равномерное.

Во-вторых, можно рассмотреть вот какой процесс: берём урну с одним красным и одним синим шаром, и раз за разом достаём из неё случайный шар -- возвращая его и ещё один такой же. И количества шаров и будут координатами -- иными словами, можно считать, что на красном шаре написано R, а на синем L.
Этот процесс называется "урна Пойя" -- можно сказать, что это самая простая модель раздела более-менее одинаковыми компаниями свежепоявившегося рынка: каждый новый покупатель спрашивает у случайного друга, чем тот пользуется, и берёт себе гаджет той де фирмы.

Так вот, если начать с одного красного и одного синего шара, то после любого числа шагов распределение получается равномерным.

Хорошее упражнение -- это и убедиться в этом, и проверить, что эти две конструкции эквивалентны.

Частичная сумма гармонического ряда ведёт себя как ln n (плюс константа \gamma, если хочется точнее). А сверху можно устроить оценку двоичным логарифмом: в каждой "группе горизонталей" ниндзя может зацепить максимум один красный шар b:

b
b.
..b
b...
..b..
....b.
......b

(Коллеги об этом уже написали аккуратнее)

для повышения наглядности — картинка к последнему примеру

4-я задача, кажется, довольно простая — и, главное, решается « естественным образом ». (Disclaimer : я не смотрел написанные решения, так что не исключено, что в тексте ниже есть какой-то мой глюк. Но на вид вроде всё работает…)

Если бы не было условия различности x_i, то наименьшее значение у произведения под корнем было бы при всех x_i=1, равнялось бы n^2, и это даёт оценку a_n >= n. (Впрочем, требование, что все a_n целые, тоже это гарантирует — просто за счёт того, что a_{n+1}>a_n.)

Но из условия явно видно, что требуется в полтора раза больше.

Дальше — очень естественно, что поскольку x_i>0 просто вещественные числа, про них больше ничего не , когда x_1,…,x_{k-1} квадратный корень можно « подкручивать вверх », меняя x_k от того значения, когда произведение наименьшее, к 0 или к бесконечности. И тогда получающееся значение a_k « пробежит » все возможные значения от наименьшего возможного до бесконечности.
Значит, нужно посмотреть, какое именно это наименьшее значение.

Если мы уже знаем a_{k-1}, то под корнем у нас произведение двух сомножителей, которые нам дальше важны только сами по себе: мы к ним будем добавлять новые слагаемые, но не разбивать их на составляющие. Поэтому пусть эти скобки равны aS и a/S, где a:=a_{k-1}.
Следующее произведение это
(aS+x)(a/S + 1/x) = a^2+ a (S/x + x/S) +1,
где x=x_k
В скобках не меньше 2, поэтому само произведение не меньше (a+1)^2.
А минимальное значение тут такое, когда x=S. (И тогда новое S’ будет тем же самым S).
Поэтому никакие два последовательных увеличения a_{k+1}-a_k не могут оказаться равны 1 (потому что тогда два последовательных x_k совпадали бы). То есть каждое второе увеличение — хотя бы 2.

И вот и получаем ту самую оценку с коэффициентом (3/2).

https://arxiv.org/abs/2307.01912 (Doron Zeilberger et al.)

«In this case study, we hope to show why Sheldon Axler was not just wrong, but wrong, when he urged, in 1995: ”Down with Determinants!”. We first recall how determinants are useful in enumerative combinatorics, and then illustrate three versatile tools (Dodgson's condensation, the holonomic ansatz and constant term evaluations) to operate in tandem to prove a certain intriguing determinantal formula conjectured by the first author. (…)»

https://www.youtube.com/live/rSgg_OWlYRA

https://mccme.ru/dubna/2023/raspis.htm

утром в среду Г.Ю.Панина будет рассказывать на ЛШСМ-2023 (и планируется прямая трансляция) про гипотезу Банаха

«Гипотеза звучит так:

Пусть K — n-мерное центрально-симметричное выпуклое тело. Для некоторого 1<k<n известно, что любые два сечения тела K k–мерными плоскостями, содержащими центр симметрии, линейно эквивалентны. Тогда K — эллипсоид.

Эта гипотеза сформулирована в 1932 году польским математиком Стефаном Банахом, и до сих пор не решена полностью. Мы посмотрим на методы, работающие в разных стучаях: несложная топология (теорема о причесывании ежа), теорема Дворецкого, проективная геометрия. В конце мы упомянем последний результат петербургских математиков: Sergei Ivanov, Daniil Mamaev, Anya Nordskova «Banach’s isometric subspace problem in dimension four» Invent. math. (2023).

В качестве подготовки предлагается подумать над следующими задачами:
1. Пусть у трёхмерного центрально-симметричного тела K все центральные двумерные сечения (то есть, сечения, содержащие центр симметрии) — эллипсы. Тогда тело K — эллипсоид.
2. Пусть у трёхмерного центрально-симметричного тела K все центральные двумерные сечения конгруэнтны, то есть отличаются поворотом пространства. Тогда тело K — шар.»

Трансляция началась — https://www.youtube.com/watch?v=y2JB_l8-8Ho

Трансляция лекции Д. В. Орлова про гипотезу Бёрча—Свинертона-Дайера:
https://www.youtube.com/watch?v=rCdOtybBAK0

Анна Николаевна Андреева (12.01.1941–27.07.2023)

https://youtu.be/zm6so51Xka8
https://news.1rj.ru/str/EtudesRu/112

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2023-01.12-14.pdf
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2023-02.19-23.pdf

Гаянэ Панина. Про Лёлю и Миньку, а также про лемму Шпернера и два её доказательства – одно сказочное, а другое резиновое (Квантик №№1-2 за 2023 год)

https://youtu.be/tC3oz6sFdic?t=647

В.А.Зорич на заседании МатОбщества в честь его 80-летия

Владимир Антонович Зорич (16.12.1937–14.08.2023)

Фотография из музея (с убранной подписью). Как вы думете, что это?

докажите, что любое число, представимое в виде A²+AB+B² представимо и в виде C²-CD+D² (все числа целые неотрицательные)

(задача со вчерашней олимпиады учителей)

предлагается придумать три разных решения: элементарная алгебра, классическая планиметрия, детские картинки по клеточкам