С наступающим 2025

Счастье для всех, даром, и пусть никто не уйдет обиженный!
Стругацкие

Дорогие! Пусть новый год будет для вас счастливым. Всем нам – ❤️ и 🕊

Традиционное, но ничуть не формальное, СПАСИБО за то, что вы с нами!

Мы знаем, что среди наших подписчиков есть люди, которые накануне праздников непременно захотят порешать задачки. Понимая нашу ответственность, публикуем.

Пара слов про саму задачу. Наверное, не будет большим спойлером сказать, что в задачах на поиск оптимума, как правило, есть две части:

1/ привести пример решения
2/ доказать, что оно оптимально

Первая часть обычно очень весёлая. Вторая же – наоборот. Поэтому часто её пропускают за «очевидностью». Несмотря на то, что сегодняшняя задачка достаточно известная, например, вот она на бразильской олимпиаде 2005 года, мы не нашли строгого доказательства оптимальности. Среди того, что получилось найти, одни переборы. Нам удалось эту лакуну закрыть весьма эстетично на языке теории графов.

#олимпиады

• Фонарик и 8 батареек
• Решение

Понравился мем:

Новый год снова не будет простым

Немного нумерологии вам в ленту:

2025 = (20 + 25)² =
(1 + 2 + … + 9)² =
1³ + 2³ + … + 9³

Последнее тождество приписывается Никомаху из г. Геразы, греческому математику, жившему во 2-м веке. Это имя я узнал на днях, а в 4-м веке «книга Никомаха была столь же классическою для арифметики, как Евклид для геометрии», как пишет А.В. Васильев в своём историческом очерке про целые числа.

Страна Оз возвращается

Итак, заключительная часть увлекательной франшизы сегодня на ваших экранах. Если вы пропустили, то рекомендую начать с 1-й серии, а именно с этого поста шестилетней давности. 2-я часть вышла почти два года спустя здесь. Бессменный режиссёрский и актёрский состав.

Хотелось бы здесь оставить некоторый крючок, cliffhanger, с тем чтобы вы непременно ждали продолжения. Возможно ли такое в математике?

#олимпиады #графы

• Солнечные и лунные города страны Оз (#146)
• Дивертисмент
• Решение

Тасовки

У него спрашивали: «который час», он отвечал: «без пяти минут семёрка».
Пушкин, «Пиковая дама»

Проверим, как хорошо американцы умеют тасовать карты.

Хорошее упражнение – в уме перетасовать по-американски (см. условие задачи) несколько раз колоду хотя бы из 8 карт.

• Американская тасовка (#147)
• Решение

Линейная алгебра в стереометрии

Продолжая контекст предыдущего поста, заходим с козырей, а именно, с самой сложной задачи Московской математической #олимпиады 1993 года для 10-11 классов.

Условие перекликается с задачей Жук и куб (#55), но тот бедняга не умеет летать. Как следствие, меняется размерность и подход к решению (и сложность!). Идею решения позаимствовали из другой нашей задачи, хотя можно решать и классическими школьными методами.

Витиеватые стереометрические нагромождения побудили меня наконец-то освоить геогебру для чертежей. А вольфрам альфу использую для проверки рутинных символьных действий (типа перемножения многочленов и последующее упрощение). Каков ещё инструментарий современного математика (без ИИ – решать пока хочется самому)?

#геометрия

• Муха в тетраэдре (#148)
• Дивертисмент
• Решение

​​Математические ребусы

Готовил другую задачу для поста, но внезапно мне загадали этот #ребус с пометкой «для 5-го класса». Чуть было не опозорился, но неимоверными потугами я его осилил. Возрастная маркировка по факту оказалась корректной.

Забавно то, что ребус упоминается в сборнике Козловой «Сказки и подсказки» от 2004 года. Как я умудрился про него не знать?

В процессе решения я придумал вариацию этого ребуса во «вселенной спичек».

Это неформатный пост, поэтому всевозможные спойлеры – в комментариях. Отдельно побуждаю маскировать решения и ответы.

Итак, сегодняшний 2-в-1 вам к чашке кофе.

#спички #149

Задача Пенни о подбрасывании пенни

Наверняка многие из вас решали споры при помощи обычной монеты. Один выбирает орла, второму достаётся решка, оба имеют равные шансы на выигрыш. Как изменится расклад, если разрешить выбирать не просто букву, а слово, то есть некоторую последовательность орлов-решек? На первый взгляд кажется, раз все слова одинаковой длины равновероятны, выбор не имеет значения.

Эта постановка известна как #игра Пенни – по имени Волтера Пенни, описавшего её в 1969 году. Позже о ней писал Мартин Гарднер в своей книге Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988), а также журнал Квант в статье Лучшее пари для простаков (1987).

Мы предлагаем вам попробовать решить одну из подзадач этой игры. Такие задачи достоверно встречаются в виде брейнтизеров на #интервью в инвестбанки вроде #JPMorgan или фонды вроде #WorldQuant.

Метод, применяемый в решении, достаточно общий, поэтому его идеи полезны далеко за пределами самой задачи. В общем, горячо рекомендуем.

#тервер #классическаязадача #парадокс

• Задача Пенни (#150)
• Решение

Навигация по хэштегам

Архитектура ключевых слов неидеальна, но слегка структурирует коллекцию задач.

Секция задач с собеседований
#интервью #[company]
#консалтинг
#финансы
#datascience

Секция #олимпиады
#геометрия
#графы
#игра
#тервер

Прочие маркеры
#классическаязадача
#математикавискусстве
#парадокс
#ребус
#чгк – было и такое
#шахматы

Частные случаи больших теорем

На мой вкус великая теорема Ферма демонстрирует наибольшую дистанцию между простотой формулировки и сложностью доказательства. Ближайший конкурент – гипотеза о простых числах-близнецах, но она ещё открыта.

Не удержусь от исторической справки. Сама проблема появилась на полях Арифметики Диофанта в 1637. Ферма писал, что нашёл demonstratio sane mirabilis, но поля для выкладок слишком узкие. В 1670 году или спустя пять лет после смерти учёного его сын переиздал Арифметику с маргиналиями отца. Один из экземпляров этого тиража выставлялся недавно на Кристис с оценкой $15-25k. Глядя на его фото, могу лишь сказать, что язык математики в те годы – латынь.

Эндрю Уайлс заявил об окончательном доказательстве и опубликовал его в 1995 году, за что был удостоен абелевской премии в 2016 году ($735k).

В научно-популярном жанре 350-летняя история проблемы излагается в этой книге.

Доказательство нашего варинта великой теоремы доступно школьникам и уж точно поместится на полях.

• Страсти по теореме Ферма (#151)
• Дивертисмент
• Решение

др∞

«Про зря вля вля сдине мраш деня про зря вля вля вля!»
Пух с восхищением посмотрел на эту надпись.
— Я тут написала: «Поздравляю с днём рождения», — небрежно заметила Сова.
А. Милн

Самое время вспомнить первую задачку, открывшую канал 8 лет назад.

А сегодня #геометрия тортов. Оказывается, это целый жанр.

#интервью #SAP #Nokia

• Прямоугольный торт (#152)
• Решение

Доступ с кворумом

Изучаем стимпанк версию протоколов доступа с кворумом. С электронными системами всё понятно – у каждого свой секрет, программа считает количество предъявленных ключей.

А каковы могли бы быть механические системы подсчёта кворума? Возможно какой-то гений времён да Винчи изобрёл полностью механический пороговый (M-of-N) замок, но с ходу я не нашёл упоминаний.

Одна из возможных реализаций → сегодня

#олимпиады

• Ключи от сейфа (#153)
• Дивертисмент
• Решение

Выступаю в жанре подборок в канале про детство моего дорогого друга Аси

aka

Редакторка и продюсерка в медиа и образовании. Запустила детское приложение с подкастами «Гусьгусь», издавала «Учебник Т—Ж», делала детские лагеря «Арзамаса», преподавала медиа и подкасты в ВШЭ, Новой школе и проекте «Каскад»

маленькие задачки

прорешал и дал списать автор канала Mathreshka

конкурирую за досуг с мультиками и синтезаторами (кем? чем?) МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ЗАДАЧКАМИ

посвящается всем чакам норрисам, которые при несовпадении ответа уверены, что это опечатка в задачнике

а также прочим гениям в синих штанах, гениям-анти, тугодумам (как я), и просто весёлым ребятам, короче, абсолютно всем, кто умеет считать от 1 до 8 — данная подборка из матрёшки

1/ начинаем с чашки кофе

2/ продолжаем прогрев (пока легко)
кстати, после этой задачи меня троллили (типа, СЛИШКОМ легко) задачкой из клиники

3/ ЗЗЗ
что-то в стиле триз

4/ увеличиваем давление в трубах (или в норах)

5/ пасхалка для той, кто поймёт

6/ вот такая задачка для 6-го класса

7/ здесь просто угарный али-баба. думаю сделать его своим маскотом

8/ закольцую этой задачей, чтобы, как после камушка, брошенного в море, эта сансара ещё раз провернулась однажды

Из воспоминаний о Колмогорове

Среди задачек, придуманных шестилетним Андреем, была задача о пуговицах – сколькими способами можно пришить пуговицу.

«Пуговицы должны были сами себе пришивать. Так что задача, так сказать, происходила «из практики». Мне особенно нравились два способа – из двух параллельных черточек и крестиком. Вообще-то довольно много способов... Естественно, чтобы все дырочки были использованы: прямоугольный треугольничек с пустой дыркой не признавался, конечно.»

В.М. Тихомиров. Слово об учителе

• Пуговица (#154)
• Решение

– Андрей Николаевич, а вот эта школа Потылихинская – в то время ведь всё экспериментировали... Там вы тоже были подвержены всем этим экспериментам?

– Я был не подвержен, а активно проводил их, например дальтон-план так называемый... И я до сих пор продолжаю считать, что в нём было очень много хорошего. Это такая организация, что преподаватель каждого учебного предмета, например математики, которой обычно в школе занимаются, скажем, 5 часов в неделю и занятия идут со всем классом, когда преподаватель должен сам всё время рассказывать, увлекать своими рассказами, какими-нибудь демонстрациями, – вот таких занятий преподаватель имел всего один час в неделю. А вся остальная деятельность учеников регламентировалась такой карточкой месячного задания: посмотреть в такой-то книжке, прочесть то-то, решать такие-то задачи, попробовать найти какую-нибудь зависимость, изобразить её графически... Так что каждый школьник большую часть школьного времени проводил за своим столиком, шёл в подручные библиотечки вынуть нужную книжку, что-нибудь писал. А преподаватель сидел в уголку, читал, и школьники подходили по очереди, показывали, что они сделали. За месяц — ну, скажем, по математике — таких обращений к учителю получалось несколько десятков. В карточке появлялись такие галочки, что такая-то часть задания выполнена, такая-то выполнена.

Последнее интервью из книги Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. 1999

1/ Из вводного слова Н.Н. Рычковой к приведённому интервью 1983 года:

И, наконец, мы даже позволили себе во многих местах выделить на печати курсивом слова, на которые Андрей Николаевич сделал особое смысловое ударение. Кто слышал живого Андрея Николаевича, думаем, сразу узнает его манеру излагать свой мысли; кому не довелось - может быть, сможет вернее понять его.

2/ Речь выше идёт про Потылихскую опытно-показательную школу Наркомпроса в Москве, где девятнадцатилетний Колмогоров начал преподавать в 1922-м году. Эта экспериментальная школа была устроена отчасти по образцу знаменитой нью-йоркской Дальтонской школы, основанной в 1919 году Хелен Паркхёрст, которая впервые опробовала свой метод, разработанный с Марией Монтессори, в 1916 году в школе города Долтон (Dalton, MA).

3/ Введение Дальтон-плана описано в повести Н. Огнёва Дневник Кости Рябцева:

В нашей школе вводится Дальтон-план. Это такая система, при которой шкрабы ничего не делают, а ученику самому приходится всё узнавать.... Как пауки, а мы — мухи

Больше воспоминаний математиков на канале @mathmemories