Вот мы и получили неравносоставленность треугольников с вершинами вверх и вниз — и более того, добыли инвариант такой равносоставленности.
Ну и такой же инвариант можно построить и для любой другой фигуры T, лишь бы T' было её центрально-симметричным образом. А если посмотреть, что же именно мы при этом считаем — то будут получаться какие-то интегральные выражения от того инварианта Хадвигера, который мы построили раньше. И если мы его не придумали тогда — то его можно было бы придумать, идя от этих инвариантов, задавшись вопросом "а что же мы интегрируем".

Да, давайте я скопирую сюда иллюстрацию из всё тех же записок курса Владлена Тиморина, https://users.mccme.ru/valya/lect3.pdf — и формулировку теоремы Штейнера-Минковского:

Видны и "секторные" окрестности, возникающие на рёбрах, и "шапочки" окрестностей в вершинах.

А ещё — сложение по Минковскому можно объявить не сложением, а... умножением. И об этом рассказывала в ЛШСМ-2013 Гаянэ Панина, см. https://www.mccme.ru/dubna/2013/courses/panina.htm + http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7277

Скриншот из видеозаписи первого занятия —

И на этом я на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Продолжил оглавление — с того места, докуда доходило оглавление в архиве. Получилось немало:

Ещё немного асимптотической комбинаторики: Random Sorting Networks — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/898
Алиса и Боб: кто скорее разорился раньше? https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/931
Слова Фибоначчи, квазикристаллы и фрактал Рози — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/948
Записки из Warwick-а
https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1053
Два взгляда на теорему о высотах в сферической геометрии (и на плоскости Лобачевского) — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1080
Пара слов с Матпраздника — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1123
... и рассказ о числах Мерсенна: как их проверяют на простоту? https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1129
Бильярды в треугольниках и не только — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1178
Задача о пересылке бриллианта и применение эллиптических кривых в криптографии для защиты... https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1198
... и для нападения (алгоритм факторизации Ленстры) — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1244
Игла Бюффона: как обойтись совсем без интегрирования — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1264
Лекция Ингрид Добеши на ICM-2018: холсты из одного рулона (и кто бы мог подумать, что это можно будет проверить) — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1279

Доказательство Ламберта иррациональности π: цепная дробь для тангенса (!) — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1307
(и цепные дроби вообще, и небольшое упоминание фризов https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1402 )
... и последовательности Фарея https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1464
Премия Абеля — работы Фюрстенберга https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1514
Два слова о числах Каталана — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1586
Абелевский сезон, продолжение — работы Маргулиса: https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1638
Факторизация: как работает метод квадратичного решета — начало (метод Диксона) https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1691 + окончание https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1716
Абелевский сезон-2, продолжение о работах Маргулиса: https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1727

Вспоминая Конвея:
лексикографические коды https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1750
несколько фотографий https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1791
программируя на FRACTRAN-е https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1797
статья о разных доказательствах иррациональности корня из двух — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1803
(и отступление к доказательству рождественской теореме Ферма https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1822 )
статья "A Headache Causing Problem" https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1849

Катящиеся окружности и гипоциклоиды в них — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1889
Рассказ о комплексной динамике, начало (когда множество Жюлиа связно?) —
https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1919
Уходя в далёкое прошлое — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1943
Упаковки шаров: начало —https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2003
Кватернионы, вращения и правильные многогранники — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2054
Упаковки шаров: продолжение — решётка E8 https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2104 ,
... формула суммирования Пуассона, теорема Горбачёва-Кона-Элкиса и доказательства оптимальности Вязовской https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2173
Комплексная динамика, продолжение (множество Жюлиа как множество хаотической динамики, метод Ньютона и открытые множества с общей границей, главная кардиоида и кролик Дуади) — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2235
Комплексная динамика, продолжение (параболическая точка и динамика рядом с ней, бифуркация удвоения периода и логистическое отображение) https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2329
Комплексная динамика, продолжение (переход в другие гиперболические компоненты, диск Зигеля, КАМ-теория и щели Кирквуда, множества Жюлиа положительной меры и алгоритмическая неразрешимость) — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2454
"Трёхглавый дракон", начало —
https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2562
Окончание комплексной динамики: ренормализация и универсальность Фейгенбаума-Куле-Трессера — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2619
Кривая Веронезе и выпуклые многогранники https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2692
Лекция Жиса и его "прогулка": теорема Концевича с билета в метро, Плутарх, Ньютон, доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, алгебраические кривые и хордовые диаграммы — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2699
Равносоставленность фигур — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2807

Кстати, а вот тут бифуркация удвоения периода наблюдается для игрушечного дятла:
https://youtu.be/yjBPdkSvFPw?t=301
(спасибо Г. Мерзону за ссылку!)

Да, давайте я добавлю пару слов — видео про Монстра совершенно замечательное: рассказ о группах как группах симметрий и как об абстрактном объекте, рассказ "с нуля" про серии групп и про спорадические группы, и заканчивается Монстром и той наименьшей размерностью, в которой он действует.
3blue1brown крут; снимаю шляпу!

Один из шагов при доказательстве теоремы Сабитова — это формула, выражающая объём симплекса через длины его рёбер; многомерный аналог формулы Герона. И на неё интересно посмотреть саму по себе.
Вот скриншот из видеозаписи лекции А. А. Гайфуллина в лаборатории Чебышева,
https://www.youtube.com/watch?v=L_DjieJPY8I :

Сверху — классическая формула Герона, но в варианте с раскрытыми скобками; из этого вида видно, что квадрат площади — многочлен не только от длин сторон, но и от их квадратов.

Снизу — общая формула; учтите, что тут А.А. обозначил через l_{ij} не длину ребра от P_i до P_j, а её квадрат.

В частности — вот версия для объёма тетраэдра (тоже скриншот из видеозаписи, правда, в этот раз из курса в ЛШСМ — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=9386, — и тут l_{ij} обозначают просто длины, поэтому в определителе они возведены в квадрат):

А как такую формулу доказывать? Для начала давайте поймаем n!. А именно — если у нас есть n векторов в R^n, то объём симплекса, натянутого на эти вектора и начало координат, отличается от объёма натянутого на них же параллелограмма (иными словами, от составленного из них определителя) в n! раз.
Ибо площадь треугольника это половина произведения основания на высоту, объём тетраэдра это треть произведения высоты на площадь основания, и так далее — и вот и получается множитель
1/(n*(n-1)*...*2*1)= 1/n!

Это хорошо, но у нас-то (n+1) точка в R^n. Поэтому давайте возьмём их координаты и допишем к ним единицу в начало. Получится (n+1) вектор в R^{n+1} — и объём натянутого на них симплекса в (n+1)! раз меньше объёма натянутого на них же параллелепипеда. С другой стороны, этот же объём равен 1/(n+1) * объём исходного симплекса, потому что высота из вершины 0 равна 1: все остальные вершины живут в n-мерной плоскости x_1=1. Сокращая, получаем, что объём исходного симплекса равен (1/n!)*объём (n+1)-мерного параллелепипеда.