Продолжаем играть в бревнышки

Собрались придумать свою аналогичную задачу и придумали. Правила те же, кучек 4: 2, 3, 5, 6. Надо сделать 4, 4, 4, 4

Решение придумайте сами. И аналогичные задачи попробуйте придумать, кидайте их в комментарии.

Как мы задачу придумывали

7, 7, 7, 7
Вытащили все дощечки, что у нас есть, разложили по четырем кучкам. Сначала по одинаковым (везде по 7). Потом переложили произвольным образом, начали решать.

Тут я поняла, что решения не будет. Осталось объяснить это Илюхе. Я начала: «В самом конце у нас будет момент, когда две кучки уже собраны, и остались только две..» Вижу, теряет интерес, не понятно.

Захожу по-другому: «Смотри, всего две кучки: 1 и 13, надо в каждой по 7 сделать». Пробует, играет, на стадии 6 и 8 обнаруживает тупик. Тут и я: «Если у нас уже в обеих кучках четное, то нечетное мы никак не получим».

И с четырьмя кучками тот же тупик: когда осталось только две собрать, приходим к задаче про две кучки.

6, 6, 6, 6
Убрали 4 досточки. Пусть теперь нам нужны четные числа.

Взяли какие-то исходные кучки. В какой-то момент пришли к позиции 6, 6, 4, 8. Илька сам перекладывает, тупик видит.

Тут та же проблема: как только две кучки делятся обе на 4, мы из них 6 не сделаем, оно на 4 не делится.

Тогда мы взяли 4, 4, 4, 4 и придумали задачу. И решили ее. А можно брать 8, 8, 8, 8, но у нас досточек маловато.

Советы родителям
Результат «Я придумал свою задачу» очень мотивирует. Илька побежал рассказывать бабушке и дедушке.

Но лучше начать с двух кучек и внимательно изучить всё, что в них происходит, а потом уже увеличивать количество. А не как я.

Влияние дедушек на внуков невозможно переоценить

Завела себе Яндекс.Дзен
Буду писать полезные приемы, методики и задачи для учителей.

Конкретно в эту задачу можно играть и с младшеклассниками, взяв, например, положительные числа или вообще одинаковые.

https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/nestandartnye-zadachi-na-uroke-5d3c899097216d00acd50708

Среднее арифметическое
Часть 1. 66+44

Несколько месяцев назад по дороге из школы:
— Мам, а знаешь какой у меня средний балл? 4,66
— Да? И что это означает?
— Осталось 44 шага до пятерки.

Ох, у меня глаза разбегаются — так много направлений, куда можно вести разговор дальше. Начнем с простого.

— Сколько будет 66+44?
— (уверенно) 100
— А сколько будет 66+34?
— (считает, думает) Странно, должно быть другое, а тоже 100 получается.

Всё, дальше объяснять не надо, полезнее оставить самого с этим сомнением. Да и до этого объяснять не надо — только вопросы задавать.

Среднее арифметическое
Часть 2. Определение

— А ты знаешь, что если у тебя средний балл 4,66, то среднего балла 5 тебе уже не достичь?
— Это почему это?
— Я могу объяснить, но это сложно, ты готов?

В этот момент я еще не знала, как буду объяснять.

— Давай сначала обсудим, что такое среднее арифметическое. Слышал про такое?
— Нет
— Смотри, берем несколько чисел, сначала их все складываем, а потом сумму делим на их количество.

С делением всё сложно. Они на тот момент его совсем еще не проходили. Но в этот момент я вдруг понимаю, как действовать дальше.

— Давай я буду называть тебе несколько чисел, а ты будешь называть их среднее арифметическое.
— (с сомнением) Давай.
— 4 и 4.
— (честно считает) 4. (Тут уже полно энтузиазма, потому что легко)
— 5 и 3.
— 4
— 4 и 5.
— Не делится.
— Это нацело не делится. А будет 4 с половиной. Если мы сложим две четверки и две половинки, как раз 9 получится.

— Тут мы подошли к тому, почему оно так называется. Среднее — это означает, что оно посередине. Если чисел всего два, то это число ровно посередине.

Тут я апеллирую к линейке. Ильку учили складывать числа с помощью линейки, поэтому эти рассуждения ему понятны. Еще раз, представляя линейку объясняю про 4 и 5.

— А если чисел три?
— А тогда оно тоже в некотором смысле посередине между всеми ними.

Среднее арифметическое
Часть 3. Свойства

— Давай попробуем взять побольше чисел. 1, 1, 1
— 1
— Верно. А если 1, 1, 1, 1
— 1
— Вот видишь, если все числа одинаковые, то и среднее арифметическое равно им.

Я специально перешла на 1, чтобы было легко делить.

— 4, 4, 4
— 4
— 3, 4, 5
— (считает) 4
— 2, 5, 5
— (считает) 4
— Вот так и с твоими оценками — сложили все, поделили на их кодичество, получили средний балл. Но как ты видишь, средний балл 4 может быть при самых разных наборах оценок.
— И 4, 4, 4, и 3, 4, 5, и 2, 5, 5
— А если четыре оценки?

Я вижу, что Илька понял, как считают средний балл, но его 4,66 ему ничего пока не говорит. Иду и придумываю продолжение, пока он погружен в придумывание разных наборов из четырех оценок.

Среднее арифметическое
Часть 4. Достигаем 5

— Давай теперь другой тип задачки. Вот у кого-то есть оценки 3 и 4. Среднее 3 с половиной. Какую оценку еще надо получить, чтобы среднее было 4?
— 4 (проверяет), а нет 5.

Второй раз радуюсь, что взяла для примеров такие числа. Первый — легко было шагнуть к оценкам. Тут — всё легко перебирается.

— Пусть у тебя среднее 5. Какими могут быть оценки?
— Все 5

— Хорошо, теперь допустим у тебя 4. Какую оценку надо получить, чтобы среднее было 5?
— 6
— Такой оценки нет. Если ты получишь 5, то будет 4 с половиной. Потом с каждой следующей пятеркой будет все ближе к 5, но так ее никогда и не достигнет, потому что не все пятерки.

— Теперь вернемся к твоему среднему баллу. Все твои оценки сложили, поделили на их количество, получили 4,66 — это такое число между 4 и 5. И теперь сколько бы пятерок ты не получил, твой средний балл будет расти, но не достигнет 5. Ну и не важно. Оценки вообще не очень важны. А средний балл, как мы видели может быть одним и тем же в самых разных ситуациях.

Четыре задачки с конструктивами и доказательствами

Илька скучал. А мне было что ему предложить.

— Смотри, вот такой прямоугольник из двух клеток (1×2) будем называть доминошкой. (Рисую). Понятно?
— Понятно.

Задача 1
Есть доска 4×4, можно ли ее разрезать на доминошки?

Рисую ему квадрат 4×4. Он радостно разрезает. Очень доволен.

Задача 2
Та же доска, но без угловой клетки. Можно ли теперь разрезать на доминошки?

Пробует — не получается. Пробует еще два раза, не получается, делает вывод, что невозможно. Предполагает, что нельзя, но я спрашиваю, почему.

Подсказка через некоторое время:
— Вот ты начал, до конца не дошел, а как-то уже понял, что дальше нельзя. Как?

Через некоторое время Илька придумывает и четко озвучивает идею четности.

Четыре задачки с конструктивами и доказательствами

Задача 3
Теперь вырезали две угловые клетки, прилегающие к одной стороне.

Илька легко разрезает и счастлив. Очень хорошо, что каждая вторая задача легкая. Попробовал — тут же получилось.

Задача 4
Снова вырезаны две угловые клетки. На этот раз противоположные. Можно ли разрезать?

Илька знатно помучился. Подсказка: раскрась доску в шахматном порядке.

После подсказки он не сразу, но решил. Раскраснелся, весь лист изрисовал, но вышел с победой.

Вот весь ход процесса. Когда задача не решалась, Илька волновался и тыкал лист ручкой.

Моя статья на Дзене про эту задачу и ее продолжение:

https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/razrezaem-shahmatnuiu-dosku-na-dominoshki-5d40606a1d656a1fe2ea05d2

Вот какую штуку я предлагаю: вы пишете в своем канале пост про какой-то из моих каналов. Всё, что угодно, вот прямо то, что думаете. Ссылочку на пост кидаете в комментарии канала, про который вы написали. А я в этом канале пишу всё, что думаю про ваш канал.

Этакое вп без согласований текстов.

Про некоторые каналы я все же не готова написать у себя, поэтому, если сомневаетесь, предполагаете что ваш канал может быть таким, спросите в личке @natnetint

Список моих каналов, в которых я готова в это поиграть:
@geometrykanal
@childrenmath
@mylunchbox
@natanet

Мои критерии успеха заранее:
Поучаствует хотя бы 15 каналов. Ко мне придут суммарно хотя бы 300 подписчиков.

#расскажи
Первый такой пост — канал @skazoshnayavyshivka

Рекомендую тем, кто любит вышивать, или тем, кто ищет подарок рукодельнице. В канале каждый день появляется ссылка на рукодельный набор или вышивку.

Отличная книга для разговоров об алгебре:

Таблица умножения

Договорились, что не учим таблицу умножения, а я иногда спрашиваю случайные примеры на умножение — так все и выучится.

Когда я внезапно спрашиваю, Иля тянет время, говорит, что я спросила невовремя, а сам при этом в голове быстро считает.

Считает он хорошо. На 2 он умножает сложением. На 4 — умножает на 2 и еще раз на 2. На 9 — умножает на 10 и вычитает само число.

Когда я спрашиваю, иногда он рассуждает вслух. И тогда я вижу, что сначала он прикидывает способ, как будет проще посчитать. Это долго, от зубов таблица не отлетает, что-то он выучил, а что-то вовсе нет. Но это умение проанализировать ситуацию, выбрать удобный способ, построить в голове модель задачи — это сослужит добрую службу.

На уроках пока просто везет — спрашивают те примеры на умножение, которые он уже запомнил.

«Не» слитно или отдельно

— Я хотел сказать, что вирусы не живые и не неживые. Но если я говорю, что они не живые, то как отличить: они не относятся к живым или относятся к неживым?
— На слух никак. А письменно одни раздельно пишутся, а другие слитно.

Через сколько лет?

Услышала, как Данька спрашивает, а Илька отвечает:
— А сколько мне будет лет, когда тебе будет 10?
— Тебе будет 6.
— А сколько тебе будет, когда мне будет 14?
— Мне будет 18.

Ага, значит, можно вернуться к этой теме.

— Илька, а сколько тебе будет лет, когда вам с Данькой в сумме будет 20?
— Ого, сложно!
— Почему же? Вот сколько вам сейчас? Тебе 7 и Даньке 3.
— 10.
— Вот, а когда 20?
— Через 10 лет.
— И сколько тебе тогда будет?

Но тут Илька сменил тему. То ли понял, что ошибся, то ли не до того было.

И когда же эти 20 суммарных лет?

Сегодня за обедом вспомнили вчерашнюю задачу.

— И сколько же тебе будет, когда вам вдвоем будет 20?
— Попробую подобрать. Когда мне будет 10, Даньке — 6. Это мало. А когда мне будет 12.. О, нашел!
Мне 12, Даньке 8.

Я хочу уменьшить подбор, заметить закономерности:
—А сколько тебе будет, когда вам вместе будет 100?
— О, знаю, 92.
— Даньке будет 88. Вряд ли вам вместе 100.

Ильке сложно, поэтому помогаю:
— Ну а когда вам вместе 30 будет?
— Когда мне будет 22, а Даньке 18.
— Уверен?
— Ой, нет, я нашел, когда 40! Значит надо поменьше.

Я очень обрадовалась этой идее, что Илька заметил, куда продолжать перебор. Но в дальнейшем переборе он ее явно перестал использовать, пришлось ее явно озвучить. Постепенно он пришел к правильному 17+13.

— Я кое-что заметил. Если хочешь нечетное круглое получить (это он так не делящиеся на 4 круглые назвал), надо нечетные числа складывать, и наоборот.